Wilt u meer informatie?
Bel 0596-851433 of 06-51072536

Maatvoering in de kunst

Het begrip maat en maatverhouding kent een lange en gecompliceerde geschiedenis in de beeldende kunst. Hieronder deze geschiedenis.

Geometrie speelt al een rol in de grotschilderingen in Spanje en Frankrijk van 15.000 v. Chr. Naast realistische afbeeldingen van dieren worden soms geometrische vlakver-delingen gevonden. Vanaf het vroegste begin heeft de mens hiervoor een fascinatie gehad.

In de natuur komen bepaalde maatverhoudingen méér voor dan andere. Dit heeft te maken met een elementair groeiprincipe:1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, etc. De verhoudingenreeks 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. zien we veel in de groei van organismen. Dit noemt men een ‘gnomonisch groeiproces’.

De maatverhouding van dit groeiprincipe 1:1,618 is overal om ons heen in de natuur zichtbaar. Het is al sinds de Oudheid dat dit mensen is opgevallen. Echter eerst tijdens de romantiek wordt deze maatverhouding tot ‘goddelijk’ esthetisch principe verheven en het is de Duitse wiskundige Martin Ohm die in 1835 deze maatverhouding de naam geeft waaronder het bekend is geworden: ‘gulden snede’. De gulden snede is een maatverhouding waarbij een lijnstuk zo wordt verdeeld dat het kleinste deel zich verhoudt tot het grootste als het grootste tot het gehele lijnstuk, samenvattend: a : b = b : (a + b).

Hoewel de maatverhouding van de gulden snede niet alleen in de natuur, maar ook in de architectuur en de kunst veelvuldig wordt waargenomen was het schrijven hierover tot halverwege de 19e eeuw het domein van de wis- en natuurkundigen. De meest invloedrijken zal ik de revue laten passeren.

Eerst in 1854 verheft de Duitser Adolf Zeising deze maatverhouding tot esthetisch principe in zijn boek: ‘Neue Lehre von Proportionen des menschlichen Körpers’, met als ondertitel: ‘Een overzicht van een nieuwe theorie van de proporties van het menselijk lichaam gebaseerd op een niet eerder herkende wetmatigheid, te vinden in alle natuur en kunst, tezamen met een volledig vergelijkend overzicht van eerdere systemen.’ In dit werk legt Zeising een verband tussen de Gulden Snede en de maatverhoudingen van het menselijk lichaam. Zijn observaties leiden ertoe dat anderen de Gulden Snede ook gaan herkennen in het menselijk lichaam en zij menen een vroege oorsprong gevonden te hebben in het werk van de grote Griekse beeldhouwer en architect Phidias. Omdat sommigen veronderstellen dat hij de eerst aanwijsbare kunstenaar was die de Gulden Snede maatverhouding gebruikte, heeft men de eerste letter van zijn naam, phi, weergegeven als de Griekse letter φ, gebruikt als het symbool om de gulden snede aan te duiden.1

Van Phidias, die leefde in de 5e eeuw v.Chr., is inderdaad bekend dat hij grote aandacht had voor de proportionaliteit van de menselijke gestalte. Zijn tijdgenoot en rivaal de beeldhouwer Polykleitos richtte een school voor beeldhouwers op, de school van Argos, die bestond van 430 tot 350 v.Chr. Polykleitos stelde richtlijnen op schrift, de z.g. ‘Kanoon’ voor de ideale verhoudingen van het menselijk lichaam. Ook de in zijn tijd zeer beroemde schilder Zeuxis hield zich bezig met ideale lichaamsverhoudingen. Zijn portret van Helena in de tempel van Hera te Croton gold als ultiem vrouwelijk schoonheidsideaal.

De ideale menselijke maatverhouding waren voor kunstenaars van belang voor het afbeelden van de goden, maar er zijn ons geen gegevens overgeleverd waaruit blijkt hoe en waarom de maatverhouding van de gulden snede in de Griekse architectuur is toegepast. Het laat zich raden dat ook hier de uitdrukking van het goddelijke een rol heeft gespeeld. Het is niet onwaarschijnlijk dat dit in navolging was van Egyptische voorbeelden. De traceerbare oorsprong van de gulden snede maatverhouding moeten we zoeken in de Egyptische cultuur.

Farao Djoser van Egypte (2800 v.Chr.) vroeg de grootvizier2, lijfarts, filosoof architect Imhotep om zijn grafmonument te bouwen. Anders dan oudere graven, gemaakt van hout en baksteen, bouwt Imhotep een piramidevormig grafmonument van natuursteen.3 Het blijkt een prototype te zijn voor vele navolgingen en daarmee wordt hij gezien als de ‘uitvinder’ van de Egyptische piramide waarvan de maatverhoudingen uiterst zorgvuldig worden uitgezet.4 Net als in India werden religieuze gebouwen geplaatst in de het verlengde van bepaalde sterren- en planeetstanden.

De toepassing van onderling samenhangende maatverhoudingen zijn goed te illustreren in de piramide van Cheops, een van de zeven klassieke wereldwonderen, gebouwd in 20 jaar tijd tussen 2551 en 2472 v.Chr.5 Deze piramide staat niet op zichzelf, maar maakt deel uit van nog drie grote en zes kleine piramiden die van bovenaf bezien gebouwd zijn in een vorm die herkend kan worden als het sterrenbeeld Orion.6 Sceptici die twijfelden aan de juistheid van dit gegeven werden de mond gesnoerd toen men smalle schachten in de piramide ontdekte van 25 cm.7 Aanvankelijk dacht men aan luchtschachten, echter deze kanalen komen niet aan de oppervlakte, maar lopen dood op een deur waarvan onbekend is waartoe deze leidt. De schachten bleken in verband te staan met de stand van bepaalde sterren. De egyptoloog Alexander Badawy wees erop dat de richting van de noordelijke schacht in het verlengde ligt van de ster ‘Alpha Draconis’8, die 2500 v.Chr. de plaats en betekenis had van onze huidige Poolster. De zuidelijke schacht staat gericht op ‘Zete Orionis’ een van de drie sterren van de ‘Gordel van Orion’, ook wel ‘Jacobsstaf’ genoemd en onderdeel van het sterrenbeeld Orion.

Er wordt verondersteld dat farao Cheops (2620 – 2563 v.Chr.) deze piramide heeft laten bouwen. Geheel zeker is dat niet. De piramide is niet voorzien van mededelingen in de vorm van hiërogliefen en/of afbeeldingen.

De maatvoering van de piramide van Cheops verraad echter een grote wiskundige kennis. De piramide had een oorspronkelijk hoogte van 146 meter. Het kwadraat hiervan (146²= 21.316m²) is de oppervlakte van elk van de vier kanten van de piramide. De hoogte van de piramide is gelijk aan de straal van een cirkel die overeenkomt met de omtrek van de piramide. Dit is mogelijk doordat de schuinte van de piramidehelling zeer zorgvuldig is gekozen, namelijk onder een hoek van 52°. Deze hellingshoek leidt voor de vorm van het silhouet van de piramide tot 2 tegen elkaar geplaatste rechthoekige driehoeken in de verhoudingen 1:1.272:1.618.9 Dit is in de verhouding van de gulden snede.

Er mogen dan geen geschreven mededelingen zijn over de ontstaansgeschiedenis van de piramide, de hierboven genoemde maatverhoudingen van een stenen grafmonument10 van 4500 oud, hebben generaties verbaasd en verwonderd. Nog altijd wordt de vraag gesteld hoe men in die tijd in staat is geweest om 2,5 miljoen stenen met een gemiddeld gewicht van 2500 kg. zo nauwkeurig op elkaar te stapelen.

Ook in het Oude testament wordt de gulden snede verhouding genoemd in verband met religieuze zaken. In Exodus 15:10 krijgt Mozes van God de opdracht om de Ark des Verbonds te bouwen. De instructies zijn expliciet: “Zo zullen zij een ark van sittimhout maken; twee ellen en een halve zal haar lengte zijn en anderhalve el haar breedte, en anderhalve el haar hoogte.” De genoemde maten komen overeen met de gulden snede maatverhouding. Van Mozes (1350 v. Chr.) is bekend dat hij langere tijd leefde in Egypte en hij was een ingewijde in de Egyptische kennis.

Pythagoras van Samos (ca. 572 v. Chr. – ca. 500 v. Chr.), die eveneens langere tijd in Egypte verbleef en ingewijd was in de Egyptische kennis en religie, wordt verondersteld kennis gehad te hebben gehad van de gulden snede maatverhouding die hij meenam naar Griekenland en later naar Zuid-Italië. Pythagoras heeft geen geschriften nagelaten. Wat we weten van hem en zijn theorieën is opgetekend door zijn vele volgelingen. Hoewel de bronnen niet geheel eenduidig zijn is het waarschijnlijk dat de zeer begaafde leerling en volgeling van Pythagoras, de 36 jaar jongere dochter van een Griekse arts, Theano, de eerste is geweest die schreef over deze bijzondere maatverhouding. Er wordt vermeld dat zij niet alleen een leerling van Pythagoras was, maar in later jaren ook zijn echtgenote. Na zijn overlijden zou zij de School der Pythagoreërs geleid hebben samen met haar dochters. Aanhangers van Pythagoras noemde men ‘mathematekoi’. Theano en haar dochters hebben ertoe bijgedragen dat de kennis verspreid werd in Griekenland. Van het geschreven werk van Theano is ons niets overgeleverd.

In de dialoog ‘Timaeus’, op schrift gesteld door Plato rond 360 v.Chr., zegt de filosoof Timaeus van Locri11, een volgeling van Pythagoras, zich te verwonderden over wat hij kan begrijpen van het ons omringende universum. Dit harmonisch universum is ordelijk en geometrisch gerangschikt. Het kan niet anders of hieraan ligt een intelligent plan ten grondslag, uitgevoerd door een goddelijke ambachtsman, de Demiurg12, die de aanwezige materialen vanuit de chaos ordent volgens een plan, een idee. Dit idee behoort tot de onstoffelijke eeuwige werkelijkheid. Dit in tegenstelling tot de stoffelijke werkelijkheid, de meer of minder aangetaste afspiegeling van de ideeënwereld.13 Het universum wordt door de onderling samenhangende verhoudingen als ‘mooi’ beleefd. Dit komt omdat de Demiurg naar perfectie streefde toen hij de chaos bestreed en een ordening schiep.14

Overeenkomstig de opvattingen van zijn leermeester Pythagoras van Samos veronderstelt Timaeus dat getallen en getalsmatige verhoudingen een wezenlijk onderdeel uitmaken van de achterliggende eeuwige werkelijkheid.

Teruggrijpend op oudere filosofische opvattingen, van o.a. Thales, Emedocles en Heraclitus, veronderstelde Timaeus dat alle fysieke vormen in de wereld te herleiden zijn tot een meest elementaire vorm; ondeelbare deeltjes, die ‘atomen’15 genaamd werden. Plato laat Timaeus vertellen dat er 5 verschillende elementaire deeltjes bestaan, die elk te onderscheiden zijn door hun geometrische vorm16: de Tetraëder (regelmatig viervlak) is de elementaire vorm van vuur, de Octaëder (regelmatig achtvlak) – lucht, de Icosaëder (regelmatig twintigvlak) – water en de kubus (regelmatig zesvlak) – aarde. Ons universum moest zijn samengesteld uit deze vier elementen. De kosmos zélf zou opgebouwd zijn uit een vijfde element in de vorm van een Dodecaëder (regelmatig twaalfvlak).

Timaeus legt nadruk op de onderlinge samenhang in de maatverhoudingen van deze elementaire vormen, die ook zijn terug te vinden in het heelal en in de muziek. Hij komt tot de volgende elementaire maatverhouding: “Neem drie getallen of massa's of krachten (A, B en C). Wanneer nu het middelste (B) staat tot het laatste (C) zoals het eerste (A) tot het middelste (B), en omgekeerd, als het middelste (B) staat tot het eerste (A), zoals het laatste (C) tot het middelste (B), dan zal, wanneer het middelste (B) eerste en laatste wordt, terwijl het eerste (A) en het laatste (C) beide op hun beurt middeltermen worden, alles onvermijdelijk eender blijven; en, daar ze onderling eender blijven, zullen ze ook alle één zijn."17

Ongeveer 60 jaar na ‘Timaeus’ van Plato benoemt Euclides de maatverhouding van de gulden snede veel duidelijker in zijn manuscript ‘Elementen’. Euclides is als wiskundige werkzaam in de bibliotheek van Alexandrië, rond het jaar 300 v.Chr. We weten bijzonder weinig over zijn leven, maar dit manuscript is een van de oudste en tegelijk meest invloedrijke werk in de geschiedenis van de wiskunde. Euclides reikt ons de methode aan hoe een lijnstuk zo te verdelen dat deze de bijzondere maatverhouding kreeg.

We zien de gulden snede maatverhouding, die bij toepassing een natuurlijke samenhang doet gevoelen, werkzaam in de architectuur van het Parthenon, een tempel gewijd aan Athena Parthenos, gebouwd tussen 447 en 438 v.Chr. door de architecten Ictinos (449-415 v.Chr.) en Callicrates, onder leiding van de eerder genoemde beeldhouwer Phidias. Hij draagt de verantwoordelijkheid voor alle beeldhouwwerken en hij vervaardigt zelf het 12 meter hoge beeld van de godin dat in de tempel stond.

Ongetwijfeld zullen vele geleerden in de oudheid kennis gehad hebben van de maatverhouding van de gulden snede, die in verband gebracht wordt met religie. We treffen er geen geschreven bronnen over. Na ‘Elementen’ van Euclides moeten we 250 jaar wachten voordat we hieromtrent weer geschreven opmerkingen aantreffen.18

Het betreft het werk van de Romeinse architect Marcus Vitruvius Pollio (ca. 85 – 20 v.Chr.). Hij schrijft tien boeken over de architectuur: ‘De Architectura libri decem’ en het is daarmee de enige klassieke geschreven bron over architectuur uit de oudheid. Alles wat we van hem weten is dat wat hij persoonlijk prijs gaf in zijn boeken. Hij begon zijn carrière als militair. Zijn boeken draagt hij op aan keizer Augustus, zijn broodheer.

Vitruvius ziet de architectuur als een nabootsing van de natuur. Zoals vogels nesten bouwen en bijen honingraten, zou bouwt de mens zijn huis, als beschutting. Hij ziet de mens als de maat voor alle architectuur. Hij besteedt lange tijd om alle juiste informatie te vergaren en hij schrijft zijn werk uit onvrede met de teloorgang van de goede Griekse bouwgewoontes in het Rome van zijn tijd.

Vitruvius verkondigt de mening dat de vormgeving van een gebouw bepaald moet worden in relatie tot haar functie.

Eerst ordening en symmetrie, daarna schoonheid, evenredigheid en degelijkheid. Dat zijn de belangrijkste uitgangsprincipes. Verder meent hij dat een architect voor het maken van een goed ontwerp van vele markten thuis moet zijn. De architect dient onder meer kennis te hebben van astronomie, filosofie, natuurkunde, muziek en geneeskunde. Omdat hij de maat van de mens als uitgangspunt nam voor goede architectuur19 bestudeert hij zeer nauwkeurig de verhoudingen van het menselijk lichaam in navolging van de Griekse beeldhouwer Polykleitos (5e eeuw v.Chr.) en hij constateert dat de lichaamsdelen onderling ideale proporties hebben. Deze samenhang in maatverhouding in het menselijk lichaam dient ook in de architectuur doorgevoerd te worden. Lengte, breedte en hoogte van een gebouw moeten in relatie staan met de proportionaliteit van het menselijk lichaam.

Oorspronkelijk schijnt Vitruvius zijn boeken zelf geïllustreerd te hebben. Deze illustraties zijn in de kopieën van het verloren gegane oorspronkelijke manuscript, kwijtgeraakt. In boek 3 en 4 schrijft hij over heilige gebouwen (tempels), hun symmetrie en hun samenhang in maatverhouding met het menselijk lichaam.

In 1414 vindt de Florentijnse humanist Poggio Brancciolini (1380-1459) een kopie van het Vitruvius-manuscript in een Zwitsers klooster en maakt het bekend. Het werk heeft sindsdien vele eeuwen grote invloed gehad op het denken van architecten en wiskundigen. De eersten in die rij waren o.a. Brunelleschi, Alberti, Da Vinci en Pacioli. Heel veel later heeft het ook invloed op het werk van o.a. de Zwitserse-Franse architect Charles Eduard Jeanneret (1887-1965), beter bekend als Le Corbusier en de Nederlandse benedictijner monnik en architect Dom Hans van der Laan (1904-1991).

Het is de wiskundige Leonardo van Pisa (ca.1175–1250), die een belangrijke bijdrage levert aan ons besef van de maatverhouding van de gulden snede en meer in het bijzonder onze rekenmethoden aanmerkelijk verbetert door de invoering en bekendmaking van een uit India stammende getalsystematiek van 1 tot 9 en de invoering van het getal 0. Tot dan toe werd in de Westerse wereld gebruik gemaakt van de Romeinse cijfers. Naast de manuscripten die hij schrijft, waarvan er verschillende verloren zijn gegaan, weten we vooral iets van zijn leven door de biografie van Bigollo Tölpel20 (= domoor), die aan het einde van de 12 eeuw in Béjaïa, Algarije leefde.

Van zijn jeugd is niet veel bekend. Zeer waarschijnlijk werd hij geboren in Pisa, als zoon van de internationaal werkende Pisaanse koopman Guilielmo Bonacci. Van Tölpel kennen we ook zijn bijnaam waarmee hij het meest bekend is geworden: Fibonacci, afgeleid van ‘figlio di Bonacci’, zoon van de Goedzak. Als Guilielmo Bonacci wordt aangesteld als hoofd van de handelsnederzetting te Béjaïa neemt hij zijn gezin mee. De nog jonge Leonardo krijgt daar zijn opvoeding. Zijn natuurlijke talent voor wiskunde leidt ertoe dat hij een grote fascinatie ontwikkelt voor het rekenen met behulp van de Abacus, een telraam. Vooral bij gecompliceerde koop- en verkoopovereenkomsten was een goede en snelle rekenmethode zeer gewenst.

Béjaïa was in die tijd een van die havens waar internationaal handel werd gedreven en waar contacten werden uitgewisseld op allerlei terrein met de Arabische wereld.

Via zeelieden kwamen ook verhalen en kennis over de grote bibliotheek van Bagdad ‘Het huis der Wijsheden’. Zo komt de jonge Leonardo in aanraking met een andere getalsduiding, van oorsprong afkomstig uit India, die succesvol toegepast wordt door Arabieren en die aanmerkelijk sneller werkt dan het rekenen met de Abacus. Hij ziet er de grote voordelen van en hij leerde met deze nieuwe systematiek te werken.

Het is onbekend hoe lang Leonardo van Pisa in Béjaïa verblijft. Wel is bekend dat hij gedurende enige jaren de gehele mediterrane wereld bereist om zich verder te bekwamen in de Arabische wiskunde. Hij verblijft langere tijd in Constantinopel, bezoekt Griekenland, Egypte, Syrië, Sicilië en de Provence om uiteindelijk omstreeks 1200 naar zijn geboortestad Pisa terug te keren. Daar begint hij met het schrijven van een handboek om de nieuwe rekenmethode bekendheid te geven. Het manuscript, ‘Liber Abbaci’ (‘Het boek van de Abacus’, te begrijpen als: Hoe kan ik snel rekenen zonder de Abacus?, wordt in 1202 in Pisa gepubliceerd. Leonardo was toen 27 jaar oud. Een herziene, verbeterde en aangevuld manuscript verschijnt in 1228. Het is deze versie die wij vandaag nog kennen.

In dit boek introduceert Leonardo van Pisa in het twaalfde hoofdstuk het probleem van de vermenigvuldiging van een vruchtbare konijnenfamilie. Hij komt daarbij tot de reeks getallen, waarbij elk volgend cijfer de som is van de voorgaande: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. Deze getallenreeks is bekend geworden als de rij van Fibonacci en in 1611 ontdekt de astronoom Johannes Kepler (1571-1630) dat de reeks een rekenkundige basis vormt voor de maatverhouding van de gulden snede (die toen nog niet zo heette).21

In de handgeschreven manuscripten van Leonardo van Pisa, waarvan er verschillende verloren zijn gegaan, waaronder zijn, in dit verband zeer betreurd, commentaar op ‘Elementen’ van Euclides, toont hij zich in staat om de nieuwe rekenkunde praktisch toepasbaar uiteen te zetten. Mede door de goede leesbaarheid en toepasbaarheid wordt het manuscript zeer veel gekopieerd en het wordt populair onder handelaren, landmeters en wiskundigen. Het trekt de aandacht van geleerden aan het hof van de Duitse keizer Frederik II die hun broodheer ertoe weten te bewegen om Fibonacci te ontbieden als zijn hof van de keizer in Pisa op bezoek is. Er worden hem verschillende wiskundige problemen voorgelegd waarvan hij er drie weet op te lossen. Dit maakt grote indruk en er verschijnt een manuscript over de drie opgeloste problemen. Nadien onderhoudt hij via briefwisseling contact met enkele van de wetenschappers. Na 1228 vernemen we niets meer van Fibonacci. Verondersteld wordt dat hij omstreeks 1250 in Pisa is overleden. Zijn invloed door het invoeren van een nieuw getallenstelsel en praktische rekensystemen is enorm groot.

De kennis van Fibonacci’s boek ‘Liber Abbaci’ blijft bekend onder geleerden na zijn overlijden. Toch moeten we weer 200 jaar wachten voordat een ander invloedrijk werk over maatverhoudingen verschijnt. Het komt van de Italiaan Piero della Luca Pacioli (1445-1517) een wiskundige, die lange tijd in Italië rondreisde als wiskunde leraar.

Nadat hij een eerst boek over rekenkunde had gepubliceerd in Venetië reist hij omstreeks 1487 naar Rome. Hij woont daar langere tijd in het huis van de 41 jaar oudere Leon Battista Alberti, de pauselijke secretaris die na vele contacten met Florentijnse kunstenaars het boek ‘Della pittura’ had geschreven en die tevens de auteur was van een tiendelig werk over architectuur, waarbij hij zich veel op Virtruvius verliet. Daarnaast was hij de architect van tal van bouwwerken.

Leon Battista Alberti schreef omstreeks 1450 in zijn boeken over de architectuur: “Grote kunstenaars uit de Oudheid waren de mening toegedaan dat een gebouw opgezet diende te worden, analoog aan de wetten van de natuur, vergelijkbaar met een levend wezen.”

Het was deze man, Alberti, die naar alle waarschijnlijkheid zelf een leerling was van de schilder Piero della Francesca. Francesca was een van de Italiaanse kunstenaars die het lijnperspectief als eerste toepaste, die de eerste theoretische verhandeling schreef over de schilderkunst en het lijnperspectief. Hoe de invloed van Alberti op Pacioli uitpakte is niet na te vorsen. We weten dat Pacioli theologie gaat studeren en toetreedt tot de Franciscaner kloosterorde. Ook weten we dat Pacioli, mogelijk in navolging van Alberti, zijn boeken eveneens in de landstaal, het Italiaans gaat publiceren. Na twee jaar, in 1489, verlaat Pacioli Rome. Hij keert terug naar zijn geboortedorp Sansepolcro, ongeveer 60 km noordelijk van Perugia.

Daar schrijft hij in 1495 het boek dat hem beroemd maakt; een gebundeld overzicht van alle toentertijd bekende wiskunde: ‘Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita’. Hij ontleent veel kennis aan werken van o.a. Euklides en Fibonacci. In 1494 reist hij naar Venetië voor de publicatie van dit werk. Lange tijd is dit werk hét standaardwerk voor de wiskunde in West-Europa.

Hij wordt, als grootste wiskundige van zijn tijd, een graag geziene gast op universiteiten en vorstenhoven. In 1494 nodigt de hertog van Milaan, Ludovico Sforza, hem uit om aan het hof wiskundelessen te geven. Pacioli gaat op deze uitnodiging in en hij verblijft in Milaan van 1496 tot 1499. Hij schrijft er het eerste deel van zijn boek ‘Divina proportione’ (‘Goddelijke verhoudingen’).

Het eerst deel van dit boek, waarin hij de wiskunde behandelt van de gulden snede, voltooit hij in december 1498. In het tweede deel, dat verschijnt in 1509, schrijft hij over maatverhoudingen in de architectuur. Het derde deel is een Italiaanse vertaling van de meetkundige werken van schilder Piero della Francesca, naar alle waarschijnlijkheid zijn oude leermeester.

Pacioli’s boek ‘Divina proportione’ is zijn persoonlijke intellectuele bijdrage aan de in zijn tijd veel gestelde vraag hoe je het Christendom kunt verenigen met de leer van Plato.

De abstractie en ongrijpbaarheid van God (de Demiurg van Plato) zou te vinden zijn in de wiskunde. Pacioli beschrijft in het eerste deel de wiskunde van de 5 elementaire deeltjes van Plato: de Tetraëder (regelmatig viervlak), de Octaëder (regelmatig achtvlak), de Icosaëder (regelmatig twintigvlak), de Kubus (regelmatig zesvlak) en de Dodecaëder (regelmatig twaalfvlak), volgens Plato de vorm van ons universum. Hij beschrijft de maatverhouding van de gulden snede, de stellingen van Euclides en hoe de genoemde meetkundige figuren geconstrueerd kunnen worden met behulp van de gulden snede. Pacioli ziet vooral in het verschijnsel van de gulden snede maatverhouding veel eigenschappen van (de Christelijke) God. Zo kan de Goddelijke drie-eenheid herkend worden in deze maatverhouding, omdat de drie maten van de gulden snede onlosmakelijk met elkaar verbonden zijn; het grootste deel van het lijnstuk, het kleinste deel en het gehele lijnstuk. Dat de gulden snede maatverhouding niet in een rationeel getal was samen te vatten komt volgens Pacioli overeen met de irrationaliteit van God, die zich ook niet in woorden laat omschrijven. De wiskundige wereld der getallen is wellicht de beste wijze om God te kunnen begrijpen.

In het voorwoord van het eerste deel schrijft Pacioli: “Alle illustraties van de regelmatige en halfregelmatige veelvlakken zijn gemaakt door de hoogst bekwame schilder, perspectivist, bouwkundige, musicus en alleskunner Leonardo da Vinci Fiorentino, in de stad Milaan, waar we hebben samengewerkt onder de hoede van de hoogst excellente hertog van die stad, Ludovico Maria Sforza Anglo in de heilzame levensjaren van 1496 tot 1499”22

Luca Pacioli en Leonardo da Vinci raken zeer bevriend.23 Ze pogen een academie te starten, ongelukkigerwijze nét voordat de Franse legers Milaan binnenvallen en het oorlogsgeweld beide mannen dwingt te vluchten. Via Mantua verblijven zij korte tijd in Venetië om tenslotte (terug) naar Florence te gaan. Naar het schijnt deelden Luca Pacioli en Leonardo aldaar enige tijd een huis tot 1506. Daarna geeft Pacioli nog les in Perugia en Rome waarna hij zich terugtrekt in zijn geboortedorp Sansepolcro. Daar sterft hij in 1517 op zeventigjarige leeftijd.

Er wordt wel verondersteld dat Albrecht Dürer (1471-1528) Fra Luca Pacioli omstreeks 1506 opgezocht heeft in Bologna, maar het is allerminst zeker of ze elkaar ontmoet hebben! Wel is zeker dat Dürer grote interesse had in dergelijke meetkundige wetenschap. Veel van deze kennis doet hij op tijdens zijn twee reizen naar Italië. In de laatste jaren van zijn leven vat hij zijn kennis daaromtrent samen in twee boeken: ‘Unterweisung der Messung mit Zirkel und Richtscheit’, met daarin een uiteenzetting van de problematiek van de meetkunde van twee- en driedimensionale figuren en een theoretische verhandeling van het lineair perspectief. Mogelijk in navolging van de Italiaanse voorbeelden (Alberti, Pacioli e.a.) schrijft ook Dürer zijn boek in de landstaal, het Duits en niet in het Latijn.

Het andere werk, in vier delen, dat hij niet geheel meer kan voltooien, is de ‘Vier Bücher von menschlicher Proportion’. In navolging van wat hij had gehoord over de Griekse schilder Zeuxis24 en de beeldhouwer Polykleitos (5e eeuw v. Chr.) meent Dürer via deductie de volmaakte mens te moeten kunnen samenstellen. In dit werk breekt hij zijn hoofd over de vraag hoe de kunstenaar, bij het afbeelden van het menselijk lichaam, dezelfde schoonheid als in de natuur kon bereiken. Hij vraagt zich af of er een meetkundige formule te bedenken is waarin de proporties gevangen kunnen worden en begrepen. Het boek, met vele metingen van het menselijk lichaam wordt heel populair. Het wordt in zeven talen vertaald en gelezen door kunstenaars als Rubens, Rembrandt en Pousin.

Op boven beschreven wijze raakt de gulden snede maatverhouding bekend onder kunstenaars, echter de naam ‘gulden snede’ is eerst in 1854 aan dit begrip gekoppeld, zoals al genoemd door Adolf Zeising. De naam was natuurlijk niet gek gekozen en had wel degelijk een historische connotatie. Het verwijst naar ‘Divina proportione’ van Fra Pacioli, die in zijn werk weer wijst naar oudere invloeden.

Het idee van ideale menselijke proporties als schoonheidsideaal is lang blijven leven. De Duitse kunsthistoricus Johann Winkelmann (1717-1768) heeft met zijn geschriften over de klassieke Griekse kunst grote invloed hieromtrent uitgeoefend.

Om in Nederland te blijven; de Utrechtse arts Hubertus Fock (1811-1894) was de laatste in een rij Nederlandse artsen25 die zich vragen stelde over de volmaakte ideale en dus optimaal gezonde mens. Fock besteedt grote aandacht aan een poging om te komen tot een reconstructie van de Canon van Polykleitos.26 Na jaren van meten, vergelijken rekenen en tekenen publiceert hij, tegelijk in Utrecht en Parijs, in 1866, uiteindelijk zijn interpretatie van het verloren gegane theoretische manuscript van Polycleitos, onder de titel: ‘Anatomie canonique ou le canon de Polyclète retrouvé’. Niet veel later verschijnt een Engelse vertaling. Om het theoretische werk te bewijzen en te visualiseren vervaardigt de Haagse fotograaf Henri Pronk (1813-1893) in samenwerking met een Parijse beeldhouwer een reeks illustraties van de ideale mens. Vooral door deze afbeeldingen wordt het werk populair op de Haagsche tekenacademie en andere kunstacademies.

Toch wordt het werk van Hubertus Fock, zijn reconstructie van de Canon van Polycleitos, niet onverdeeld goed ontvangen. De letterkundige Carel Vosmaer (1826-1888) meent dat schoonheid niet in wiskundige formules te vatten is en al helemaal niet als je afbeeldingen toont van waarin de armen aantoonbaar te lang zijn. Alleen al om die reden kon dit werk nooit ook maar in de buurt komen van de Canon van Polycleitos. Het geheim van een goed kunstwerk zou moeten zijn dat het uitdrukking geeft aan een hogere geestelijke waarheid. De voorstelling van het schoonheidsideaal is veranderd; schoonheid is niet zozeer een fysieke zaak, maar eerder een zaak van het innerlijk, van karakter. Met deze opvatting verschuift het lang gekoesterde idee van ideale proporties, zoals in oorsprong bedoeld door God, als uitdrukking van een eveneens briljant en zuiver innerlijk, definitief naar de achtergrond.

In de architectuur speelt de menselijke maat nog altijd een rol, niet zozeer als schoonheidsideaal maar vooral als praktisch gegeven om goede, functionele, en daardoor mooie architectuur te bouwen. De Zwitsers-Franse architect Charles Eduard Jeanneret (1887-1965), beter bekend als Le Corbusier, ontwikkelde tussen 1942 en 1955 een maatsysteem van onderlinge verhoudingen, afgestemd op de menselijk maat, maar uitgaande van gulden snede verhoudingen, dat hij ‘de Modulator’ noemde.

Hij bedacht twee maatsystemen, de z.g. rode en blauwe reeks. Voor de rode reeks nam hij de maat 183 cm, als uitgangspunt, de gemiddelde lengte van een mens. Door deze maat herhaaldelijk door φ (1.618) te delen ontstaat een rij van Fobinacci van: 183, 113, 70, 43, 27, etc. Voor de blauwe reeks ging hij uit van de gemiddelde mens met een gestrekte hand naar boven, die volgens Le Corbusier 226 cm. was. Hij stelde vast dat deze maat tevens een verdubbeling was van de maat van grond tot navel, 113 cm. De maat vinden we terug in de rode reeks. Ook de blauwe getallenreeks komt tot stand door deling door φ: 226, 140, 86, 54, etc. Het waren de maatverhoudingen van deze beide systemen die Le Corbusier gebruikte voor de bouw van zijn gebouwen, waardoor de gulden snede verhouding veel voorkomt in zijn werk. Feitelijk ligt zijn benadering heel dicht bij de opvattingen die de Romeinse architect Vitruvius (1e eeuw v.Chr.) verkondigde in zijn werk: ‘De Architectura libri decem’.

Het religieuze aspect van de gulden snede maatverhouding speelt een belangrijke rol in het werk van de Nederlandse architect Hans van der Laan (1904-1991). Na een studie bouwkunde treedt hij toe tot de Benedictijner kloosterorde. Hij raakt geïnteresseerd in religieuze bouwkunst. Hij ontwikkelt een theorie van getalsmatige verhoudingen waarin het ‘plastisch getal’ de maatgevende rol speelt; kort gezegd een driedimensionale variatie op de gulden snede. Het plastisch getal legt geen maten vast, maar is een verhoudingsgetal voor de onderlinge maatverhoudingen.

Van der Laan maakte zijn zienswijze over verhoudingen inzichtelijk door drie door hemzelf ontwikkelde hulpmiddelen, die hij ‘blokkendozen’ noemde; de abacus, de morfotheek en de thematismos, respectievelijk voor tweedimensionale, driedimensionale vormen, en om het karakter van vormen ten opzichte van elkaar te kunnen duiden.

Hij bouwt verschillende religieuze gebouwen. Zijn zienswijze is uniek, maar voor alles ook klassiek. De harmonie van de onderliggende verwante maatverhoudingen van zijn gebouwen is duidelijk zichtbaar en voelbaar. Het doet, in de beleving van de maatvoering, denken aan architectuur uit de Oudheid van Egypte of Griekenland. Hij is een van de leidende figuren van de Bossche School, een groep architecten die de laatste fase representeren van eigentijds kerkelijk bouwen in de traditie van Vitruvius en Alberti en Palladio. Dom van der Laan zei over architectuur:"Architectuur is een aanvulling op de natuur om haar voor de mens bewoonbaar te maken. Meer nog: architectuur, dat is mensenwerk dat lijkt op de schepping.”

Voorpublicatie uit het boek ‘Vensters’ – over beeld, taal en geheugen, geschreven door Anthon Meijssen (Alkmaar 1955). Hierin bespreekt hij de geschiedenis en de redenen van hoe een afbeelding invloed kan hebben op het denken en over de ‘blinde vlek’ van het begrijpen van beeld.

1. Het was de Amerikaanse wiskundige Mark Barr die rond 1909 de naam van de Griekse beeldhouwer verbond met het symbool voor de gulden snede.
2. Eerste minister / Premier.
3. Het betreft hier de beroemde z.g. ‘trappiramide van Djoser’ te Saqqara.
4. Imhotep was een beroemdheid in Egypte en hij werd door sommigen als een god vereerd, ook na zijn dood. Hij schijnt ook boeken geschreven te hebben, maar niets daarvan is tot ons gekomen. Ook zijn graf is nooit gevonden.
5. De bouwtijd van de piramide van Cheops wordt vermeld door de Griekse geschiedschrijver Herodotus. (5e eeuw v.Chr.).
6. In de Egyptische mythologie staat Orion gelijk aan Osiris, de eerste koning van Egypte.
7. De grote piramide van Cheops is de enige piramide die deze geheimzinnige schachten heeft.
8. Alpha Draconis is een van de oudst beschreven sterrenbeelden. Egyptenaren in het Oude Rijk zagen de ster als representatie voor de godin van de noordelijke hemel ‘Taweret’.
9. Deze driehoek wordt naar de naam van de (her-)ontdekker ook wel de driehoek van Kepler genoemd. (Johannes Kepler, 1571-1630, Duits astronoom en wiskundige.)
10. Het graf zelf is nooit gevonden en het is onduidelijk of het er ooit is geweest.
11. Het is onduidelijk of dit een historisch personage is geweest, of een verzinsel van Plato.
12. Dēmiourgos is Grieks voor 'vakman'.
13. De onveranderlijke eeuwige werkelijkheid van de ideeën kan alleen met het verstand begrepen worden, niet via de zintuigen. De stoffelijke werkelijkheid, die een afspiegeling is van de eeuwige werkelijkheid kan alleen via de zintuigen met het verstand begrepen worden.
14. Dit is de oorsprong van een wereld die verdeelt is in goed (ordening) en kwaad (chaos).
15. Atomos is Grieks voor ‘ondeelbaar’. Omdat Atoem ook de naam is van de Egyptische schepper van alle dingen uit het Oude Rijk (2500 v.Chr.), ook wel ‘de Ene’ genoemd, wordt door sommigen verondersteld dat de gedachte van de elementair ondeelbare deeltjes zijn oorsprong vindt in Egypte.)
16. Deze gedachte is waarschijnlijk afkomstig van de Pythagoreeërs.
17. Plato, Verzameld Werk V, Vertaling: X.de Win, Uitg: Ambo, Baarn - Antwerpen, 1980. (31c - 32a)
18. Het is goed hierbij in ogenschouw te nemen dat ongekende hoeveelheden boeken uit de oudheid verloren zijn gegaan, niet zelden door moedwillige vernietiging.
19. De bron van deze opvatting gaat terug op Griekse filosoof Heraclitus (540-480 v.Chr.) die verkondigde dat de mens de maat is van alles.
20. (Bron: ‘De Gulden Snede, Ir. C.J. Snijder, uitg. De driehoek, Amsterdam. Pag. 14.)
21. Kepler concludeerde o.a. uit de ‘Timaeus’ van Plato dat de Schepper ons planetenstelsel een mathematische harmonie moest hebben gegeven. Het was aan de mens om dit plan te doorgronden simpelweg omdat de mens naar het evenbeeld van God geschapen was. Kepler schreef er twee boeken over, in 1596 Mysterium cosmographicum. De stella nova (Hypotheses over de bouw van de kosmos) en in 1619: Harmonices Mundi libri V (Over de harmonie in de kosmos.)
22. bron: Leonardo da Vinci, Charles Nicholl, Uitg. Het Spectrum 2005, pag. 327.
23. Da Vinci controleerde de metingen van de verhoudingen van het menselijk lichaam door Vitruvius en tekende een van zijn beroemdste tekeningen: de Vitruviusman. De tekening was bedoeld als illustratie in het boek van Pacioli.
24. Bron: ‘De inventione’ , van Cicero; ‘Over de vindingrijkheid’, 78 tot 77 v.Chr.
25. Andreas Vesalius (1514-1564), Bernard Siegfried Albinus (1697-1770), Hermannus Boerhaave (1668-1738), Petrus Camper (1722-1789), Gerard Sandifort (1779-1848)
26. Bron: De menselijke canon. Het vraagstuk van de ideale mens in de Nederlandse medische wetenschap. - Caterien Santing